in

Soal HOTS SMA UNBK 2021

Halo sobat yuktheory.com happy yuktheory ! Kali ini kami akan memberikan Soal HOTS SMA UNBK 2021

  1. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 6. Titik P adalah titik tengah TC. Jika  \alpha    adalah sudut antara AP dengan bidang ABC, maka  \sin \alpha    = ….

    jawab


    Perhatikan bahwa prisma TABC adalah prisma beraturan dengan rusuk = 6 cm
    dengan demikian panjang AP adalah

                          AP = \sqrt {A{T^2} - T{P^2}}    = \sqrt {{6^2} - {3^2}}     = \sqrt {36 - 9}    = 3\sqrt 3

    Perhatikan bahwa TO adalah garis tinggi prisma. AP = CD  = 3\sqrt 3  dan CO : CD = 2 : 3.
    Oleh karena itu CO =   = 2\sqrt 3  dan TO dapat diperoleh, yakni:

                  TO = \sqrt {T{C^2} - C{O^2}}     = \sqrt {{6^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}      = \sqrt {36 - 12}     = 2\sqrt 6

    Sekarang perhatikan segitig TCD

                                     

    PX dan TO sejajar, dan CPX sebanding dengan COT. Dengan demikian

                                \frac{{PX}}{{TO}} = \frac{{CP}}{{CT}}    \Rightarrow    \frac{{PX}}{{2\sqrt 6 }} = \frac{3}{6}   = \sqrt 6

    maka                     \sin \alpha   = \frac{{PX}}{{AP}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{3\sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\sqrt 2
           
      
  2. Turunan kedua f (x) adalah f ”(x) = 6x – 2. Jika y = f (x) melalui titik A (1, 6) dan garis singgung y = f (x) dititik A mempunyai gradeien 4, maka f (x) = …

    jawab

    f'\left( x \right) = \int {f''} \left( x \right)dx = \int {\left( {6x - 2} \right)} \,dx = 3{x^2} - 2x + C

    diketahui  garis singgung f (x)  dititik A (1, 6) memiliki gradien 4, maka

                  f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 2 \cdot 1 + C

                       4\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,C        berakibat C = 3

    maka persamaannya adalah  f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3

    dengan demikian diperoleh:

                  f(x) = \int {f'\left( x \right)} \,dx = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)} \,dx   = {x^3} - {x^2} + 3x + C

    karena f (x) melalui titil A (1, 6) maka

                   f(1) = {1^3} - {1^2} + 3 \cdot 1 + C

                  6\,\,\,\, = \,\,3\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,C       berakibat C =  3

    jadi  f(x) = {x^3} - {x^2} + 3x + 3
  3. Nilai dari  \frac{{{}^3\log 36 \cdot {}^6\log 81 - {}^4\log 32}}{{{}^9\log 27}}    adalah …

    jawab

    \frac{{{}^3\log 36 \cdot {}^6\log 81 - {}^4\log 32}}{{{}^9\log 27}}   = \frac{{{}^3\log {6^2} \cdot {}^6\log {3^4} - {}^{{2^2}}\log {2^5}}}{{{}^{{3^2}}\log {3^3}}}     = \frac{{2{ \cdot ^3}\log 6 \cdot 4{ \cdot ^6}\log 3 - \frac{5}{2}{ \cdot ^2}\log 2}}{{\frac{3}{2}{ \cdot ^3}\log 3}}

       = \frac{{8{ \cdot ^3}\log 6{ \cdot ^6}\log 3 - \frac{5}{2} \cdot 1}}{{\frac{3}{2} \cdot 1}}     = \frac{{8{ \cdot ^3}\log 3 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}    = \frac{{8 \cdot 1 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}     = \frac{{8 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}      = \frac{{11}}{3}

       
  4. Jika fungsi ff(xx) = aa2 sin (axax) + 10 mempunyai periode\begin{aligned}\dfrac{\pi}{2}\end{aligned}2π​​, maka nilai minimum fungsi ff adalah ….

    Jawab
    fungsi periodik adalah fungsi yang memenuhi:  f(x) = f(x + p)  dengan p adalah periodiknya.

    karena f (x) mempunyai periode  \frac{\pi }{2}   maka:  f(x) = f(x + \frac{\pi }{2})  dengan demikian:

                       f(x + \frac{\pi }{2}) = {a^2}\sin \left( {a\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 10 = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right) + 10   dan  

                                 f(x) = {a^2}\sin \left( {ax} \right) + 10

    jadi    {a^2}\sin \left( {ax} \right) + 10 = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right) + 10

                       {a^2}\sin \left( {ax} \right) = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right)

    perhatikan bahwa bila a = 0, maka f (x) = 10 dan bukan fungsi periodik. Dengan demikian haruslah a \ne 0
    kemudian sebagaimana diketahui  \sin x = \sin \left( {x + 2\pi } \right) , maka

                                 dengan    a \ne 0

                            \sin \left( {ax} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right)

                             ax + 2\pi  = ax + \frac{{a\pi }}{2}

                                       2\pi  = \frac{{a\pi }}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,a = 4

    dengan demikian diperoleh

                    f(x) = {4^2}\sin \left( {4x} \right) + 10

                   f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10

    karena fungsi   - 1 \le \sin 4x \le 1  maka nilai minumum dari f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10

    dengan demikian   16 \cdot \left( { - 1} \right) + 10 \le f(x) \le 16 \cdot 1 + 10

                                       - 6 \le f(x) \le 26

    jadi nilai minimumnya adalah f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10  =  – 6
  5. Jika nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ff(xx) = aacos (xx) + bb berturut-turut adalah 5 dan 1, maka nilai aa2 + bb2 adalah ….

    Jawab

    karena     - 1 \le \cos x \le 1  maka nilai
         a.   ff(xx) max terjadi bila  \cos x = 1  berakibat
               f(x) = a\cos x + b
                    5\,\,\,\,\,\, = a \cdot 1 + b
                    5\,\,\,\,\,\, = a + b        ……………………………. persamaan 1

          b.  ff(xx) min terkadi bila  \cos x =  - 1
                 f(x) = a\cos x + b
                        1 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b
                        1 =  - a + b  …………………………… persamaan 2

    dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh b = 3 dan a = 2

    dengan demikian   {a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13
  6. Jika AA dan BB memenuhi \begin{Bmatrix} \dfrac{A}{A-B}+\dfrac{A}{A+B}=\dfrac{7}{3}\\ \dfrac{2A}{A-B}-\dfrac{3B}{A+B}=3\end{Bmatrix}⎩⎪⎨⎪⎧​ABA​+A+BB​=37​AB2A​−A+B3B​=3​⎭⎪⎬⎪
    ⎫​, maka \begin{aligned}\dfrac{AB}{A^{2}-B^{2}}=….\end{aligned}A2−B2AB​=….​


    jawab
    misalkan  x = \frac{A}{{A - B}}   dan     y = \frac{B}{{A + B}}

    maka:   x + y = \frac{7}{3}           \,\left( {\, \times 3} \right)        \Rightarrow        3x + 3y = 7    ,…………….. persamaan 1

                  2x - 3y = 3                         \Rightarrow        2x - 3y = 3   ……………… persamaan 2

    dengan  mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh x = 2 dan  y = \frac{1}{3}

    dengan demikian

                 x \times y = \frac{A}{{A - B}} \times \frac{B}{{A + B}} = \frac{{AB}}{{{A^2} - {B^2}}}

             \frac{{AB}}{{{A^2} - {B^2}}} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}   
  7. Misalkan xx dan yy memenuhi\begin{cases}\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{x-2y}=2\\\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{1}{x-2y}=-3\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x+y2​+x−2y3​=2x+y4​−x−2y1​=−3​maka x^2-xy-2y^2x2−xy−2y2 =  ….
    jawab

    misalkan  A = \frac{1}{{x + y}}   dan    B = \frac{1}{{x - 2y}}

    maka   2A + 3B = 2                    \Rightarrow          2A + 3B = 2   ………………..persamaan 1

                4A - B =  - 3       \times 3        \Rightarrow        12A - 3B =  - 9  ……………… persamaan 2

    dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 maka diperoleh   A =  - \frac{1}{2} dan B = 1

    dengan demikian

    \frac{1}{A} \times \frac{1}{B} = \left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right) = {x^2} - xy - 2{y^2}
         
    {x^2} - xy - 2{y^2} =  - 2 \times \frac{1}{1} =  - 2
  8. Salah satu akar persamaan kuadrat  \left( {a - 2} \right){x^2} + \left( {a - 6} \right)x - \left( {a + 7} \right) = 0  adalah 5. Maka akar-akar yang lainnya adalah …

    jawab
           {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}    \Rightarrow       5 + {x_2} =  - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}    …………. persamaan 1


            {x_1} \times {x_2} = \frac{c}{a}        \Rightarrow      5 \times {x_2} =  - \frac{{a + 7}}{{a - 2}}      \Rightarrow    {x_2} =  - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}}   …………. persamaan 2

    subtutusikan persamaan 2 ke persamaan 1

                  5 + {x_2} =  - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}         \Rightarrow      5 + \left( { - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}}} \right) =  - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}

                                                                 \frac{{25\left( {a - 2} \right) - \left( {a + 7} \right)}}{{5\left( {a - 2} \right)}} =  - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}

                                                                 25a - 50 - a - 7 =  - 5a + 30


                                                                               24a - 57 =  - 5a + 30


                                                                                        29a = 87       \Rightarrow      a = \frac{{87}}{{29}} = 3

    subtitusikan nilai a = 3 ke persamaan 2

                      {x_2} =  - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}} =  - \frac{{3 + 7}}{{5\left( {3 - 2} \right)}} =  - \frac{{10}}{5} =  - 2
  9. Hasil dari   {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\sqrt {x - 2}  - 2}}{{\sqrt {2x - 3}  - 3}}   adalah …

    Jawab

        {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\sqrt {x - 2}  - 2}}{{\sqrt {2x - 3}  - 3}}    =  {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2}{{\left( {x - 2} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}     =  {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2}{{\left( {6 - 2} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}{{{{\left( {2 \cdot 6 - 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}  =  {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}
  10. Jika nilai  \frac{{a - b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{a - c}}{b}  , maka nilai   \frac{a}{{a + b + c}} = ...

    jawab


    dengan menjumlahkan persamaan 1, 2 dan 3 diperoleh
                   
                            2{a^2} - {b^2} - ac = 2bc + ac + {b^2}
                                   2{a^2} - 2{b^2} = 2bc + 2ac
                                       {a^2} - {b^2} = bc + ac
                             \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = c\left( {a + b} \right)
         \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) - c\left( {a + b} \right) = 0
                     \left( {a - b - c} \right)\left( {a + b} \right) = 0                    ………………………………… persamaan 4

     dari persamaan 4, maka jelas  ada 2 kemungkinan

            *   a = b + c
                 untuk kemungkinan ini, jelas  \frac{a}{{a + b + c}} =   \frac{a}{{a + a}} =   \frac{1}{2}

             * a = – b
    Advertisement

                untuk kemungkinan ini perhatikan persamaan 2

                                  ab - {b^2} = ac - {a^2}

                          ( - b) \cdot b - {b^2} = ( - b) \cdot c - {( - b)^2}

                                       - 2{b^2} =  - bc - {b^2}

                                  {b^2} - 2{b^2} =  - bc - {b^2}

                                         - {b^2} =  - bc

                                    {b^2} - bc = 0

                                   (b - c)b = 0

    dengan asumsi bahwa  b \ne 0 maka b – c = 0 berakibat b = c 
    dengan demikian:

               \frac{a}{{a + b + c}} = \frac{a}{{a + b + b}} = \frac{a}{{a + 2b}} = \frac{a}{{a - 2a}} =  - 1
  11. Nilai yang memenuhi persamaan  {}^x\log (x + 12) - 3 \cdot {}^x\log 4 - 1 = 0  adalah …

    jawab

              {}^x\log (x + 12) - 3 \cdot {}^x\log 4 - 1 = 0

    {}^x\log (x + 12) - {}^x\log {4^x} + {}^x\log x = {}^x\log 1        

                                       {}^x\log \frac{{(x + 12)x}}{{64}} = {}^x\log 1

                                                \frac{{(x + 12)x}}{{64}} = 1

                                                {x^2} + 12x = 64

                                        {x^2} + 12x - 64 = 0


                                     x =  - 16  atau  x = 4

    perhatikan, untuk  {}^x\log a  maka x > 0. Dengan demikian nilai x yang memenuhi adalah x = 4
Advertisement

Written by Ningsih

hidup adalah yadnya dan tidak ada yadnya yang sia-sia

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Latihan Soal SIMAK UI 2020

Operasi Hitung Pecahan Soal Dan Pembahasan