√Soal HOTS SMA UNBK 2021

Halo sobat yuktheory.com happy yuktheory ! Kali ini kami akan memberikan Soal HOTS SMA UNBK 2021

Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 6. Titik P adalah titik tengah TC. Jika   $\alpha$    adalah sudut antara AP dengan bidang ABC, maka   $\sin \alpha$    = ….

jawab

Perhatikan bahwa prisma TABC adalah prisma beraturan dengan rusuk = 6 cm
dengan demikian panjang AP adalah

   $AP = \sqrt {A{T^2} - T{P^2}}$    $= \sqrt {{6^2} - {3^2}}$     $= \sqrt {36 - 9}$    $= 3\sqrt 3$

Perhatikan bahwa TO adalah garis tinggi prisma. AP = CD $= 3\sqrt 3$ dan CO : CD = 2 : 3.
Oleh karena itu CO =   $= 2\sqrt 3$ dan TO dapat diperoleh, yakni:

   $TO = \sqrt {T{C^2} - C{O^2}}$     $= \sqrt {{6^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}$    $= \sqrt {36 - 12}$     $= 2\sqrt 6$

Sekarang perhatikan segitig TCD

PX dan TO sejajar, dan CPX sebanding dengan COT. Dengan demikian

   $\frac{{PX}}{{TO}} = \frac{{CP}}{{CT}}$     $\Rightarrow$     $\frac{{PX}}{{2\sqrt 6 }} = \frac{3}{6}$    $= \sqrt 6$

maka $\sin \alpha$ $= \frac{{PX}}{{AP}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{3\sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\sqrt 2$
Turunan kedua f (x) adalah f ”(x) = 6x – 2. Jika y = f (x) melalui titik A (1, 6) dan garis singgung y = f (x) dititik A mempunyai gradeien 4, maka f (x) = …

jawab

$f'\left( x \right) = \int {f''} \left( x \right)dx = \int {\left( {6x - 2} \right)} \,dx = 3{x^2} - 2x + C$

diketahui garis singgung f (x) dititik A (1, 6) memiliki gradien 4, maka

   $f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 2 \cdot 1 + C$

$4\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,C$ berakibat C = 3

maka persamaannya adalah   $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3$

dengan demikian diperoleh:

   $f(x) = \int {f'\left( x \right)} \,dx = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)} \,dx$    $= {x^3} - {x^2} + 3x + C$

karena f (x) melalui titil A (1, 6) maka

$f(1) = {1^3} - {1^2} + 3 \cdot 1 + C$

   $6\,\,\,\, = \,\,3\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,C$ berakibat C = 3

jadi   $f(x) = {x^3} - {x^2} + 3x + 3$
Nilai dari   $\frac{{{}^3\log 36 \cdot {}^6\log 81 - {}^4\log 32}}{{{}^9\log 27}}$     adalah …

jawab

$\frac{{{}^3\log 36 \cdot {}^6\log 81 - {}^4\log 32}}{{{}^9\log 27}}$    $= \frac{{{}^3\log {6^2} \cdot {}^6\log {3^4} - {}^{{2^2}}\log {2^5}}}{{{}^{{3^2}}\log {3^3}}}$    $= \frac{{2{ \cdot ^3}\log 6 \cdot 4{ \cdot ^6}\log 3 - \frac{5}{2}{ \cdot ^2}\log 2}}{{\frac{3}{2}{ \cdot ^3}\log 3}}$

   $= \frac{{8{ \cdot ^3}\log 6{ \cdot ^6}\log 3 - \frac{5}{2} \cdot 1}}{{\frac{3}{2} \cdot 1}}$      $= \frac{{8{ \cdot ^3}\log 3 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}$     $= \frac{{8 \cdot 1 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}$      $= \frac{{8 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}$     $= \frac{{11}}{3}$
Jika fungsi ff(xx) = aa2 sin (axax) + 10 mempunyai periode\begin{aligned}\dfrac{\pi}{2}\end{aligned}2π, maka nilai minimum fungsi ff adalah ….

Jawab
fungsi periodik adalah fungsi yang memenuhi:   $f(x) = f(x + p)$ dengan p adalah periodiknya.

karena f (x) mempunyai periode   $\frac{\pi }{2}$    maka:   $f(x) = f(x + \frac{\pi }{2})$ dengan demikian:

$f(x + \frac{\pi }{2}) = {a^2}\sin \left( {a\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 10 = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right) + 10$ dan

$f(x) = {a^2}\sin \left( {ax} \right) + 10$

jadi    ${a^2}\sin \left( {ax} \right) + 10 = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right) + 10$

${a^2}\sin \left( {ax} \right) = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right)$

perhatikan bahwa bila a = 0, maka f (x) = 10 dan bukan fungsi periodik. Dengan demikian haruslah $a \ne 0$
kemudian sebagaimana diketahui   $\sin x = \sin \left( {x + 2\pi } \right)$ , maka

   dengan    $a \ne 0$

   $\sin \left( {ax} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right)$

$ax + 2\pi = ax + \frac{{a\pi }}{2}$

$2\pi = \frac{{a\pi }}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,a = 4$

dengan demikian diperoleh

   $f(x) = {4^2}\sin \left( {4x} \right) + 10$

$f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10$

karena fungsi   $- 1 \le \sin 4x \le 1$ maka nilai minumum dari $f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10$

dengan demikian    $16 \cdot \left( { - 1} \right) + 10 \le f(x) \le 16 \cdot 1 + 10$

   $- 6 \le f(x) \le 26$

jadi nilai minimumnya adalah $f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10$ =  – 6
Jika nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ff(xx) = aacos (xx) + bb berturut-turut adalah 5 dan 1, maka nilai aa2 + bb2 adalah ….

Jawab

karena    $- 1 \le \cos x \le 1$ maka nilai
a.   ff(xx) max terjadi bila   $\cos x = 1$ berakibat
    $f(x) = a\cos x + b$
   $5\,\,\,\,\,\, = a \cdot 1 + b$
   $5\,\,\,\,\,\, = a + b$ ……………………………. persamaan 1

b.  ff(xx) min terkadi bila   $\cos x = - 1$
$f(x) = a\cos x + b$
   $1 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b$
   $1 = - a + b$   …………………………… persamaan 2

dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh b = 3 dan a = 2

dengan demikian    ${a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13$
Jika AA dan BB memenuhi \begin{Bmatrix} \dfrac{A}{A-B}+\dfrac{A}{A+B}=\dfrac{7}{3}\\ \dfrac{2A}{A-B}-\dfrac{3B}{A+B}=3\end{Bmatrix}⎩⎪⎨⎪⎧A−BA+A+BB=37A−B2A−A+B3B=3⎭⎪⎬⎪
⎫, maka \begin{aligned}\dfrac{AB}{A^{2}-B^{2}}=….\end{aligned}A2−B2AB=….

jawab
misalkan   $x = \frac{A}{{A - B}}$ dan     $y = \frac{B}{{A + B}}$

maka:    $x + y = \frac{7}{3}$     $\,\left( {\, \times 3} \right)$     $\Rightarrow$     $3x + 3y = 7$ ,…………….. persamaan 1

   $2x - 3y = 3$    $\Rightarrow$     $2x - 3y = 3$ ……………… persamaan 2

dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh x = 2 dan   $y = \frac{1}{3}$

dengan demikian

$x \times y = \frac{A}{{A - B}} \times \frac{B}{{A + B}} = \frac{{AB}}{{{A^2} - {B^2}}}$

$\frac{{AB}}{{{A^2} - {B^2}}} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Misalkan xx dan yy memenuhi\begin{cases}\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{x-2y}=2\\\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{1}{x-2y}=-3\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x+y2+x−2y3=2x+y4−x−2y1=−3maka x^2-xy-2y^2x2−xy−2y2 = ….
jawab

misalkan   $A = \frac{1}{{x + y}}$ dan    $B = \frac{1}{{x - 2y}}$

maka    $2A + 3B = 2$ $\Rightarrow$     $2A + 3B = 2$ ………………..persamaan 1

   $4A - B = - 3$    $\times 3$     $\Rightarrow$     $12A - 3B = - 9$ ……………… persamaan 2

dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 maka diperoleh    $A = - \frac{1}{2}$ dan B = 1

dengan demikian

$\frac{1}{A} \times \frac{1}{B} = \left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right) = {x^2} - xy - 2{y^2}$

${x^2} - xy - 2{y^2} = - 2 \times \frac{1}{1} = - 2$
Salah satu akar persamaan kuadrat   $\left( {a - 2} \right){x^2} + \left( {a - 6} \right)x - \left( {a + 7} \right) = 0$   adalah 5. Maka akar-akar yang lainnya adalah …

jawab
${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$ $\Rightarrow$    $5 + {x_2} = - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}$ …………. persamaan 1

   ${x_1} \times {x_2} = \frac{c}{a}$ $\Rightarrow$     $5 \times {x_2} = - \frac{{a + 7}}{{a - 2}}$     $\Rightarrow$ ${x_2} = - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}}$    …………. persamaan 2

subtutusikan persamaan 2 ke persamaan 1

   $5 + {x_2} = - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}$    $\Rightarrow$ $5 + \left( { - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}}} \right) = - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}$

$\frac{{25\left( {a - 2} \right) - \left( {a + 7} \right)}}{{5\left( {a - 2} \right)}} = - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}$

$25a - 50 - a - 7 = - 5a + 30$

$24a - 57 = - 5a + 30$

   $29a = 87$    $\Rightarrow$     $a = \frac{{87}}{{29}} = 3$

subtitusikan nilai a = 3 ke persamaan 2

   ${x_2} = - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}} = - \frac{{3 + 7}}{{5\left( {3 - 2} \right)}} = - \frac{{10}}{5} = - 2$
Hasil dari ${\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\sqrt {x - 2} - 2}}{{\sqrt {2x - 3} - 3}}$ adalah …

Jawab

${\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\sqrt {x - 2} - 2}}{{\sqrt {2x - 3} - 3}}$ $= {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2}{{\left( {x - 2} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}$ $= {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2}{{\left( {6 - 2} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}{{{{\left( {2 \cdot 6 - 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}$ $= {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}$
Jika nilai   $\frac{{a - b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{a - c}}{b}$   , maka nilai    $\frac{a}{{a + b + c}} = ...$

jawab

dengan menjumlahkan persamaan 1, 2 dan 3 diperoleh

   $2{a^2} - {b^2} - ac = 2bc + ac + {b^2}$
$2{a^2} - 2{b^2} = 2bc + 2ac$
${a^2} - {b^2} = bc + ac$
$\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = c\left( {a + b} \right)$
$\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) - c\left( {a + b} \right) = 0$
$\left( {a - b - c} \right)\left( {a + b} \right) = 0$     ………………………………… persamaan 4

dari persamaan 4, maka jelas ada 2 kemungkinan

* a = b + c
untuk kemungkinan ini, jelas   $\frac{a}{{a + b + c}} =$    $\frac{a}{{a + a}} =$    $\frac{1}{2}$

* a = – b

Advertisement

untuk kemungkinan ini perhatikan persamaan 2

   $ab - {b^2} = ac - {a^2}$

   $( - b) \cdot b - {b^2} = ( - b) \cdot c - {( - b)^2}$

   $- 2{b^2} = - bc - {b^2}$

   ${b^2} - 2{b^2} = - bc - {b^2}$

   $- {b^2} = - bc$

   ${b^2} - bc = 0$

$(b - c)b = 0$

dengan asumsi bahwa   $b \ne 0$ maka b – c = 0 berakibat b = c
dengan demikian:

$\frac{a}{{a + b + c}} = \frac{a}{{a + b + b}} = \frac{a}{{a + 2b}} = \frac{a}{{a - 2a}} = - 1$
Nilai x yang memenuhi persamaan   ${}^x\log (x + 12) - 3 \cdot {}^x\log 4 - 1 = 0$ adalah …

jawab

   ${}^x\log (x + 12) - 3 \cdot {}^x\log 4 - 1 = 0$

${}^x\log (x + 12) - {}^x\log {4^x} + {}^x\log x = {}^x\log 1$

${}^x\log \frac{{(x + 12)x}}{{64}} = {}^x\log 1$

   $\frac{{(x + 12)x}}{{64}} = 1$

   ${x^2} + 12x = 64$

   ${x^2} + 12x - 64 = 0$

$x = - 16$ atau   $x = 4$

perhatikan, untuk   ${}^x\log a$ maka x > 0. Dengan demikian nilai x yang memenuhi adalah x = 4